Le théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, et le plus long des trois.
BC² = AB² + AC²BC = √(AB² + AC²)AC = √(BC² − AB²)Le théorème ne s'applique qu'à un triangle rectangle : il faut savoir, par l'énoncé ou par une démonstration, que l'angle en A est droit avant de l'utiliser.
Quatre exemples
BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, donc BC = √25 = 5 cm.
BC² = 25 + 49 = 74, et 74 n'est pas un carré parfait : BC = √74 ≈ 8,60 cm. Avec 4 et 6 cm, BC² = 52 = 4 × 13, donc BC = 2√13 ≈ 7,21 cm.
AC² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, donc AC = √144 = 12 cm.
Le plus grand côté mesure 10 cm : 10² = 100, et 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Les deux sont égaux : le triangle est rectangle, et l'angle droit fait face au côté de 10 cm.
Réciproque et contraposée
Pour démontrer qu'un triangle est rectangle, on utilise la réciproque : si, dans un triangle ABC, BC² = AB² + AC², alors le triangle est rectangle en A. On calcule séparément le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres, puis on compare.
Si les deux résultats sont différents, la contraposée permet de conclure que le triangle n'est pas rectangle. Avec des côtés de 5, 6 et 8 cm : 8² = 64, mais 5² + 6² = 25 + 36 = 61. Le triangle n'est pas rectangle ; comme 64 est plus grand que 61, son plus grand angle est obtus.
Le calculateur compare les longueurs telles que vous les saisissez. Des mesures prises à la règle sont arrondies : un triangle tracé avec un angle droit peut alors donner des carrés très proches sans être égaux.
Triangles rectangles à côtés entiers
Certains triangles rectangles ont trois côtés entiers. Ces triplets reviennent souvent dans les exercices, et leurs multiples aussi : 6, 8, 10 est le double de 3, 4, 5.
| Côtés de l'angle droit | Hypoténuse | Vérification |
|---|---|---|
| 3 et 4 | 5 | 9 + 16 = 25 |
| 5 et 12 | 13 | 25 + 144 = 169 |
| 8 et 15 | 17 | 64 + 225 = 289 |
| 7 et 24 | 25 | 49 + 576 = 625 |
Les erreurs fréquentes
La racine carrée d'une somme n'est pas la somme des racines : il faut additionner les carrés, puis prendre la racine du total. Autre piège : pour un côté de l'angle droit, on soustrait (BC² − AB²) au lieu d'additionner. Et dans la réciproque, c'est toujours le plus grand côté qui joue le rôle de l'hypoténuse.
Questions fréquentes
Comment calculer l'hypoténuse d'un triangle rectangle ?
Additionnez les carrés des deux côtés de l'angle droit, puis prenez la racine carrée : avec des côtés de 3 et 4 cm, BC² = 9 + 16 = 25, donc BC = 5 cm.
Comment calculer un côté de l'angle droit ?
Soustrayez le carré du côté connu au carré de l'hypoténuse, puis prenez la racine carrée : avec BC = 13 et AB = 5, AC² = 169 − 25 = 144, donc AC = 12.
Comment savoir si un triangle est rectangle ?
Comparez le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres. S'ils sont égaux, le triangle est rectangle (réciproque du théorème de Pythagore) ; sinon, il ne l'est pas (contraposée).
Qu'est-ce que l'hypoténuse ?
C'est le côté opposé à l'angle droit d'un triangle rectangle. C'est toujours le plus grand des trois côtés.
Faut-il arrondir le résultat ?
Quand la racine carrée ne tombe pas juste, on donne la valeur exacte (√74) puis une valeur approchée à la précision demandée par l'énoncé, par exemple 8,6 cm au millimètre près.
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