La méthode du discriminant
Une équation du second degré s'écrit ax² + bx + c = 0, avec a différent de 0. Pour la résoudre, on calcule d'abord son discriminant, noté Δ (delta). Son signe donne le nombre de solutions.
Δ = b² − 4acx₁ = (−b − √Δ) / 2a et x₂ = (−b + √Δ) / 2ax₀ = −b / 2az = (−b ± i√(−Δ)) / 2aQuand Δ est négatif, l'équation n'a aucune solution réelle, mais elle a deux solutions dans l'ensemble des nombres complexes : le calculateur les donne à part.
Le calculateur écrit les solutions sous forme exacte quand les coefficients sont des nombres décimaux : la racine de Δ est simplifiée (√8 = 2√2) et les fractions sont réduites. Il donne aussi les valeurs approchées, arrondies à quatre décimales.
Quatre exemples
Δ = (−3)² − 4 × 2 × 1 = 9 − 8 = 1, positif. x₁ = (3 − 1) / 4 = 1/2 et x₂ = (3 + 1) / 4 = 1.
Δ = (−2)² − 4 × 1 × (−1) = 4 + 4 = 8, et √8 = 2√2. x₁ = (2 − 2√2) / 2 = 1 − √2 ≈ −0,4142 et x₂ = 1 + √2 ≈ 2,4142.
Δ = 36 − 36 = 0. La seule solution est x₀ = 6 / 2 = 3 : en effet, x² − 6x + 9 = (x − 3)².
Δ = 4 − 20 = −16, négatif. Dans les complexes, √16 = 4 et z = (−2 ± 4i) / 2, soit −1 − 2i et −1 + 2i.
Forme canonique et forme factorisée
Tout trinôme ax² + bx + c peut s'écrire sous forme canonique a(x − α)² + β, avec α = −b / 2a et β = −Δ / 4a. Pour 2x² − 3x + 1 : α = 3/4 et β = −1/8, d'où 2(x − 3/4)² − 1/8.
Quand Δ est positif ou nul, il se factorise à l'aide de ses racines : a(x − x₁)(x − x₂), ou a(x − x₀)² pour une racine double. Ainsi 2x² − 3x + 1 = 2(x − 1/2)(x − 1). Quand Δ est négatif, aucune factorisation n'existe avec des nombres réels.
| Signe de Δ | Solutions réelles | Factorisation |
|---|---|---|
| Δ > 0 | deux : x₁ et x₂ | a(x − x₁)(x − x₂) |
| Δ = 0 | une : x₀ | a(x − x₀)² |
| Δ < 0 | aucune | impossible |
Lire la parabole
La courbe de la fonction x ↦ ax² + bx + c est une parabole. Elle est tournée vers le haut si a est positif, vers le bas si a est négatif. Son sommet S a pour coordonnées (α ; β), les deux nombres de la forme canonique, et son axe de symétrie est la droite d'équation x = α.
Les solutions de l'équation sont les abscisses des points où la parabole coupe l'axe des abscisses : deux points si Δ est positif, un seul (le sommet) si Δ est nul, aucun si Δ est négatif. Le tracé du calculateur les marque d'un point, et le sommet d'un rond.
Les erreurs fréquentes
Le carré d'un nombre négatif est positif : sur une calculatrice, tapez les parenthèses, sinon −3² est compris comme −(3²) = −9. Autre piège : dans 4ac, un produit de deux nombres de signes contraires est négatif, et retrancher un nombre négatif revient à l'ajouter. Enfin, le dénominateur 2a s'applique à tout le numérateur, −b compris.
Questions fréquentes
Comment calculer le discriminant ?
Pour ax² + bx + c = 0, le discriminant vaut Δ = b² − 4ac. Pour 2x² − 3x + 1 = 0 : Δ = (−3)² − 4 × 2 × 1 = 9 − 8 = 1.
Que faire si le discriminant est négatif ?
L'équation n'a aucune solution réelle : la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses. Dans l'ensemble des nombres complexes, elle a deux solutions conjuguées, (−b − i√(−Δ)) / 2a et (−b + i√(−Δ)) / 2a.
Qu'est-ce qu'une racine double ?
Quand Δ = 0, les deux formules donnent la même valeur, x₀ = −b / 2a : l'équation a une seule solution et la parabole touche l'axe des abscisses en son sommet.
Comment résoudre ax² + bx = 0 sans discriminant ?
Factorisez par x : x(ax + b) = 0, donc x = 0 ou x = −b / a. De même, ax² + c = 0 se résout par x² = −c / a, qui n'a de solution réelle que si −c / a est positif ou nul.
Le calculateur accepte-t-il des coefficients décimaux ?
Oui. Avec des coefficients décimaux, il donne aussi les solutions exactes, avec des racines carrées simplifiées. Pour un coefficient comme √2 saisi en valeur approchée, il ne donne que des valeurs approchées.
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