Simplifier une fraction
Une fraction est irréductible quand son numérateur (en haut) et son dénominateur (en bas) n'ont plus aucun diviseur commun autre que 1. Pour l'obtenir en une seule étape, on divise les deux par leur PGCD, le plus grand diviseur commun.
a/b = (a ÷ PGCD)/(b ÷ PGCD)Pour 84/126 : PGCD(84 ; 126) = 42, donc 84/126 = (84 ÷ 42)/(126 ÷ 42) = 2/3. On peut aussi simplifier par étapes, par 2, puis par 3, puis par 7 : le résultat est le même, mais on risque de s'arrêter trop tôt.
Additionner et soustraire des fractions
On ne peut additionner que des fractions de même dénominateur : on additionne alors les numérateurs et on garde le dénominateur. Sinon, on les met d'abord au même dénominateur. Le plus petit dénominateur commun est le PPCM des dénominateurs ; on multiplie le haut et le bas de chaque fraction par le nombre qui convient.
a/d + b/d = (a + b)/da/b + c/d = (a × d + c × b)/(b × d)La seconde formule marche toujours, mais elle donne souvent de grands nombres à simplifier ensuite. Avec le PPCM, les nombres restent petits : c'est la méthode suivie par le calculateur. La soustraction se fait de la même façon.
Multiplier et diviser des fractions
Pour multiplier, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, sans chercher de dénominateur commun. Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse, obtenu en échangeant le numérateur et le dénominateur.
a/b × c/d = (a × c)/(b × d)a/b ÷ c/d = a/b × d/cOn ne peut pas diviser par une fraction nulle : 0 n'a pas d'inverse.
Nombres mixtes et écriture décimale
Un nombre mixte, comme 1 7/12, réunit une partie entière et une fraction plus petite que 1. Pour le convertir en fraction : 1 7/12 = (1 × 12 + 7)/12 = 19/12. Dans l'autre sens, on fait la division euclidienne du numérateur par le dénominateur : 19 = 12 × 1 + 7.
L'écriture décimale s'obtient en divisant le numérateur par le dénominateur. Elle est finie quand le dénominateur de la fraction irréductible n'a pas d'autres facteurs premiers que 2 et 5 (3/8 = 0,375). Sinon, une séquence de chiffres se répète sans fin : 1/3 = 0,333…, 1/7 = 0,142857142857… Le calculateur repère cette séquence, appelée période, quand elle compte au plus 100 chiffres, et affiche les premières décimales.
Trois exemples
PPCM(4 ; 6) = 12. 3/4 = 9/12 et 5/6 = 10/12, donc 3/4 + 5/6 = 19/12. PGCD(19 ; 12) = 1 : 19/12 est irréductible, soit 1 7/12 ou 1,58333…
(2 × 9)/(3 × 4) = 18/12, puis PGCD(18 ; 12) = 6 : 18/12 = 3/2, soit 1 1/2 ou 1,5.
5/8 × 4/15 = 20/120, puis PGCD(20 ; 120) = 20 : le résultat est 1/6, soit 0,1666…
L'erreur fréquente : additionner les dénominateurs
On n'additionne jamais les dénominateurs : une demie plus un tiers fait plus qu'une demie, alors que 2/5 est plus petit. Il faut d'abord mettre au même dénominateur : 1/2 = 3/6 et 1/3 = 2/6, donc 1/2 + 1/3 = 5/6.
Questions fréquentes
Comment rendre une fraction irréductible ?
Divisez le numérateur et le dénominateur par leur PGCD. Pour 84/126, le PGCD vaut 42 : 84/126 = 2/3, qui ne se simplifie plus.
Comment additionner deux fractions de dénominateurs différents ?
Mettez-les au même dénominateur, de préférence le PPCM des dénominateurs, puis additionnez les numérateurs. Pour 3/4 + 5/6 : 9/12 + 10/12 = 19/12.
Comment diviser une fraction par une autre ?
Multipliez la première par l'inverse de la seconde : a/b ÷ c/d = a/b × d/c. Par exemple 5/8 ÷ 15/4 = 5/8 × 4/15 = 20/120 = 1/6.
Comment transformer un nombre mixte en fraction ?
Multipliez la partie entière par le dénominateur, ajoutez le numérateur et gardez le dénominateur : 1 7/12 = (1 × 12 + 7)/12 = 19/12.
Pourquoi certaines fractions ont-elles une écriture décimale sans fin ?
Une fraction irréductible a une écriture décimale finie seulement si son dénominateur n'a pas d'autres facteurs premiers que 2 et 5. Sinon, une séquence de chiffres se répète indéfiniment : 1/3 = 0,333…
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