PGCD et PPCM : de quoi parle-t-on ?
Le PGCD (plus grand commun diviseur) de plusieurs entiers est le plus grand nombre qui les divise tous. Le PPCM (plus petit commun multiple) est le plus petit nombre non nul qui soit un multiple de chacun. Pour 84 et 36, le PGCD vaut 12 et le PPCM 252.
Le PGCD sert à simplifier une fraction d'un seul coup : 84/36 = (84 ÷ 12)/(36 ÷ 12) = 7/3. Le PPCM donne le plus petit dénominateur commun pour additionner des fractions, ou le moment où deux cycles se retrouvent : deux bus qui passent toutes les 12 et toutes les 18 minutes se croisent toutes les 36 minutes. Deux nombres dont le PGCD vaut 1 sont dits premiers entre eux.
L'algorithme d'Euclide, pas à pas
On divise le plus grand nombre par le plus petit, puis on recommence avec le diviseur et le reste, jusqu'à obtenir un reste nul. Le PGCD est le dernier reste non nul. La méthode fonctionne parce que les diviseurs communs de a et b sont aussi ceux de b et du reste de a par b.
a = b × q + r, puis on continue avec b et rPGCD(a ; b ; c) = PGCD(PGCD(a ; b) ; c)Pour 1 071 et 462 :
- 1 071 = 462 × 2 + 147
- 462 = 147 × 3 + 21
- 147 = 21 × 7 + 0
Le dernier reste non nul est 21 : PGCD(1 071 ; 462) = 21.
Calculer le PPCM avec le PGCD
Pour deux nombres, le produit du PGCD et du PPCM est égal au produit des deux nombres. D'où la formule :
PPCM(a ; b) = a × b ÷ PGCD(a ; b)PPCM(a ; b ; c) = PPCM(PPCM(a ; b) ; c)PPCM(84 ; 36) = 84 × 36 ÷ 12 = 3 024 ÷ 12 = 252. Le calculateur divise avant de multiplier (84 ÷ 12 × 36) pour garder des nombres plus petits : le résultat est le même.
Par la décomposition en facteurs premiers
On écrit chaque nombre comme un produit de nombres premiers (voir la décomposition en facteurs premiers), puis :
- le PGCD est le produit des facteurs communs à tous les nombres, chacun avec son plus petit exposant ;
- le PPCM est le produit de tous les facteurs rencontrés, chacun avec son plus grand exposant.
Cette méthode est commode pour des nombres qui se décomposent facilement. Pour de grands nombres, l'algorithme d'Euclide est bien plus rapide : le calculateur ne montre la décomposition que jusqu'à 1015.
Trois exemples
84 = 36 × 2 + 12, puis 36 = 12 × 3 + 0 : PGCD = 12, et PPCM = 84 × 36 ÷ 12 = 252.
Trois divisions donnent PGCD = 21, puis PPCM = 1 071 × 462 ÷ 21 = 23 562.
12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² et 30 = 2 × 3 × 5. Facteurs communs : 2 et 3, donc PGCD = 6. Tous les facteurs au plus grand exposant : 2² × 3² × 5, donc PPCM = 180.
L'erreur fréquente : PGCD × PPCM avec trois nombres
L'égalité PGCD × PPCM = a × b ne vaut que pour deux nombres. Avec trois nombres ou plus, calculez le PPCM de proche en proche : PPCM(12 ; 18) = 36, puis PPCM(36 ; 30) = 180.
Questions fréquentes
Comment calculer le PGCD de deux nombres ?
Par l'algorithme d'Euclide : divisez le plus grand par le plus petit, puis le diviseur par le reste, et ainsi de suite jusqu'à un reste nul. Le PGCD est le dernier reste non nul. Pour 84 et 36 : 84 = 36 × 2 + 12, puis 36 = 12 × 3 + 0, donc PGCD = 12.
Comment calculer le PPCM à partir du PGCD ?
Pour deux nombres, PPCM = a × b ÷ PGCD. Pour 84 et 36 : 84 × 36 ÷ 12 = 252. Pour trois nombres ou plus, on calcule de proche en proche : PPCM(a ; b ; c) = PPCM(PPCM(a ; b) ; c).
Que veut dire « premiers entre eux » ?
Deux nombres sont premiers entre eux quand leur PGCD vaut 1 : ils n'ont aucun diviseur commun autre que 1, comme 8 et 15. Leur PPCM est alors leur produit.
À quoi sert le PGCD ?
À rendre une fraction irréductible en une seule division : on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD. Il sert aussi à partager des quantités en parts égales les plus grandes possibles.
À quoi sert le PPCM ?
À trouver le plus petit dénominateur commun de plusieurs fractions, ou le moment où des événements périodiques coïncident : deux bus toutes les 12 et 18 minutes se retrouvent toutes les 36 minutes.
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