Comment décomposer un nombre en facteurs premiers ?
Décomposer un nombre en facteurs premiers, c'est l'écrire comme un produit de nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13… Tout entier à partir de 2 a une décomposition, et une seule, à l'ordre des facteurs près. On la trouve par divisions successives :
- on divise le nombre par le plus petit nombre premier qui le divise exactement ;
- on recommence avec le quotient obtenu, en gardant le même diviseur tant qu'il convient ;
- on s'arrête quand le quotient vaut 1 : les diviseurs utilisés sont les facteurs premiers.
Les critères de divisibilité font gagner du temps : un nombre pair est divisible par 2, un nombre dont la somme des chiffres est un multiple de 3 est divisible par 3, un nombre terminé par 0 ou 5 est divisible par 5. Il suffit de tester les diviseurs jusqu'à la racine carrée du quotient : si aucun ne convient, le quotient est lui-même premier.
Le tableau des divisions successives
Dans un cahier, on présente les divisions en deux colonnes séparées par un trait : à gauche le nombre, à droite le nombre premier par lequel on le divise, et le quotient s'écrit à la ligne suivante. Voici le tableau de 360 :
| Nombre | Divisé par |
|---|---|
| 360 | 2 |
| 180 | 2 |
| 90 | 2 |
| 45 | 3 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
La colonne de droite se lit de haut en bas : 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5. On regroupe les facteurs identiques avec des puissances :
360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5360 = 2³ × 3² × 5Compter les diviseurs d'un nombre
La décomposition donne directement le nombre de diviseurs : on ajoute 1 à chaque exposant, puis on multiplie les résultats. Un facteur écrit sans exposant compte pour un exposant 1.
(p + 1) × (q + 1) × (r + 1) diviseursPour 360 = 2³ × 3² × 5, on obtient (3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 4 × 3 × 2 = 24 diviseurs. La raison : chaque diviseur prend 2 avec un exposant de 0 à 3 (4 choix), 3 avec un exposant de 0 à 2 (3 choix) et 5 avec un exposant de 0 à 1 (2 choix).
Trois exemples
1 001 n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5. Il l'est par 7 : 1 001 ÷ 7 = 143, puis 143 ÷ 11 = 13, et 13 est premier. Donc 1 001 = 7 × 11 × 13, et il a 2 × 2 × 2 = 8 diviseurs.
2 026 ÷ 2 = 1 013. Aucun nombre premier jusqu'à 31 ne divise 1 013, et 32 × 32 dépasse déjà 1 013 : il est premier. Donc 2 026 = 2 × 1 013, avec 4 diviseurs : 1, 2, 1 013 et 2 026.
On divise dix fois de suite par 2 avant d'atteindre 1 : 1 024 = 2¹⁰, qui a 10 + 1 = 11 diviseurs, de 1 à 1 024 en passant par toutes les puissances de 2.
L'erreur fréquente : diviser par un nombre qui n'est pas premier
4, 9 et 10 ne sont pas premiers : 4 = 2 × 2, 9 = 3 × 3 et 10 = 2 × 5. On peut partir d'un tel produit, mais il faut décomposer chaque morceau jusqu'au bout. Vérifiez toujours la colonne des diviseurs : elle ne doit contenir que des nombres premiers, et 1 n'en fait pas partie.
Ce calculateur cherche les diviseurs par essais, de 2 jusqu'à la racine carrée du quotient. Il s'arrête à un million de milliards (1015) : au-delà, la recherche pourrait durer plusieurs secondes dans le navigateur. Pour savoir si un très grand nombre est premier, utilisez l'outil Nombre premier.
Questions fréquentes
Qu'est-ce que la décomposition en facteurs premiers ?
C'est l'écriture d'un nombre entier comme un produit de nombres premiers, par exemple 360 = 2³ × 3² × 5. Tout entier à partir de 2 en a une, et une seule à l'ordre des facteurs près.
Comment faire le tableau des divisions successives ?
Écrivez le nombre à gauche d'un trait vertical et, à droite, le plus petit nombre premier qui le divise. Écrivez le quotient à la ligne suivante et recommencez jusqu'à obtenir 1. La colonne de droite donne les facteurs premiers.
Quand s'arrêter de chercher un diviseur ?
Dès que le carré du diviseur essayé dépasse le nombre restant : si aucun nombre premier jusqu'à sa racine carrée ne le divise, ce nombre est premier et termine la décomposition.
Comment trouver le nombre de diviseurs avec la décomposition ?
Ajoutez 1 à chaque exposant et multipliez les résultats. Pour 360 = 2³ × 3² × 5 : (3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 24 diviseurs.
Quelle est la décomposition d'un nombre premier ?
Le nombre lui-même : 13 = 13. Il n'a que deux diviseurs, 1 et lui-même. 1 n'est pas premier et n'a pas de décomposition.
À quoi sert la décomposition en facteurs premiers ?
À simplifier une fraction, à calculer un PGCD ou un PPCM, à trouver un dénominateur commun ou à compter les diviseurs d'un nombre.
Une erreur ? Signalez-la, nous la corrigeons.